Raimund Lissy wurde in Wien geboren. Seinen ersten Violinunterricht erhielt er im Alter von vier Jahren. In der Folge studierte er bei Thomas Kakuska an der Wiener Musikhochschule und bei Alfred Staar. Nach Engagements an der Arena di Verona trat er 1988 in das Orchester der Wiener Staatsoper ein. 1991 wurde er Mitglied der Wiener Philharmoniker. Im selben Jahr übernahm er die Position des Stimmführers der 2. Geigen, seit 1993 ist er Vorgeiger der Sekundgeigengruppe der Wiener Philharmoniker und im Orchester der Wiener Staatsoper. Zudem ist Raimund Lissy seit 2013 in der Wiener Hofmusikkapelle engagiert.
2016 trat er in einem Konzert mit den Wiener Philharmonikern in der Basilika San Paolo fuori le Mura im Vatikan gemeinsam mit Albena Danailova als Solist im Doppelkonzert von Johann Sebastian Bach auf.
Als zweiter Geiger im Ensemble Wien widmet er sich intensiv der Kammermusik und konzertiert mit diesem seit 1994 alljährlich im Brahms-Saal des Musikvereins. Zudem trat er mit dem Ensemble Wien mit bedeutenden Künstler*innen und in zahlreichen internationalen Konzertsälen auf, u.a. in New York, Toronto, Vancouver, Tokyo und Paris sowie bei Festivals wie den Salzburger Festspielen und den Berliner Festwochen.
2008 gründete Raimund Lissy das Lissy Quartett. Mit dieser Klavierquartett-Formation konzertierte er im Gläsernen Saal des Wiener Musikvereins und spielte u.a. Uraufführungen von Balduin Sulzer und Michael Wahlmüller.
Weitere Kammermusikformationen Raimund Lissys sind das Ensemble VioLissymo und die Philharmonia Seconda. Als Solist spielte er mehrere Violinkonzerte mit Orchester sowie Sonatenabende. Darüber hinaus liegen rund 30 solistische und kammermusikalische CD-Einspielungen vor.
Die Pflege der Werke des Violinvirtuosen und Komponisten Joseph Mayseder ist Raimund Lissy ein besonderes Anliegen. Unter anderem ist er Produzent der 2019 auf ORF III gesendeten Dokumentation »Joseph Mayseder« und Autor der Biographie »Virtuosität und Wiener Charme: Joseph Mayseder« (2019, Hollitzer Wissenschaftsverlag).